$a+b+c = 0$のとき、以下の等式を証明する。 (1) $a^2 - bc = b^2 - ac$ (2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$ (3) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$

1. 問題の内容

$a+b+c = 0$のとき、以下の等式を証明する。

(1) $a^2 - bc = b^2 - ac$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$

(3) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$a+b+c=0$より、$c=-a-b$である。

$a^2 - bc = a^2 - b(-a-b) = a^2 + ab + b^2$

$b^2 - ac = b^2 - a(-a-b) = b^2 + a^2 + ab$

よって、$a^2 - bc = b^2 - ac$

(2)

$a+b+c=0$の両辺を2乗すると、

$(a+b+c)^2 = 0^2$

$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$

(3)

$a+b+c=0$より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$である。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = ab(-c) + bc(-a) + ca(-b) + 3abc$

$= -abc - abc - abc + 3abc = -3abc + 3abc = 0$

よって、$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - bc = b^2 - ac$が成り立つ。

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$が成り立つ。

(3) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$が成り立つ。