与えられた4つの多項式を因数分解する問題です。 (1) $x^2+2xy+y^2-5x-5y+6$ (2) $x^2-3xy+2y^2+x+y-6$ (3) $3x^2+4xy+y^2+7x+y-6$ (4) $2x^2+5xy+2y^2-x+y-1$

1. 問題の内容

与えられた4つの多項式を因数分解する問題です。

(1) $x^2+2xy+y^2-5x-5y+6$

(2) $x^2-3xy+2y^2+x+y-6$

(3) $3x^2+4xy+y^2+7x+y-6$

(4) $2x^2+5xy+2y^2-x+y-1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+2xy+y^2-5x-5y+6$

まず、$x^2+2xy+y^2$の部分を$(x+y)^2$と因数分解します。

$(x+y)^2-5x-5y+6$

$(x+y)^2-5(x+y)+6$

ここで、$x+y=A$とおくと、

$A^2-5A+6$

$(A-2)(A-3)$

$A$を元に戻すと、

$(x+y-2)(x+y-3)$

(2) $x^2-3xy+2y^2+x+y-6$

まず、$x^2-3xy+2y^2$を因数分解します。

$x^2-3xy+2y^2 = (x-y)(x-2y)$

与式は、$(x-y)(x-2y)+x+y-6$となります。

ここで、(x-y+a)(x-2y+b)の形になると仮定すると、

$(x-y+a)(x-2y+b) = x^2 -2xy + bx -xy + 2y^2 -by + ax -2ay + ab$

$= x^2 -3xy + 2y^2 + (a+b)x + (-2a-b)y + ab$

これと、与式の$x^2-3xy+2y^2+x+y-6$の係数を比較すると、

$a+b = 1$

$-2a-b = 1$

$ab = -6$

上の2つの式から、$a = -2, b = 3$ が得られます。

すると、$ab = -6$を満たします。

したがって、$(x-y-2)(x-2y+3)$

(3) $3x^2+4xy+y^2+7x+y-6$

まず、$3x^2+4xy+y^2$を因数分解します。

$3x^2+4xy+y^2 = (3x+y)(x+y)$

与式は、$(3x+y)(x+y)+7x+y-6$となります。

ここで、$(3x+y+a)(x+y+b)$の形になると仮定すると、

$(3x+y+a)(x+y+b) = 3x^2 + 3xy + 3bx + xy + y^2 + by + ax + ay + ab$

$= 3x^2+4xy+y^2+(3b+a)x+(b+a)y+ab$

これと、与式の$3x^2+4xy+y^2+7x+y-6$の係数を比較すると、

$3b+a = 7$

$b+a = 1$

$ab = -6$

上の2つの式から、$2b = 6$となり、$b = 3$。$a = -2$

すると、$ab = -6$を満たします。

したがって、$(3x+y-2)(x+y+3)$

(4) $2x^2+5xy+2y^2-x+y-1$

まず、$2x^2+5xy+2y^2$を因数分解します。

$2x^2+5xy+2y^2 = (2x+y)(x+2y)$

与式は、$(2x+y)(x+2y)-x+y-1$となります。

ここで、$(2x+y+a)(x+2y+b)$の形になると仮定すると、

$(2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + by + ax + ay + ab$

$= 2x^2+5xy+2y^2+(2b+a)x+(b+a)y+ab$

これと、与式の$2x^2+5xy+2y^2-x+y-1$の係数を比較すると、

$2b+a = -1$

$b+a = 1$

$ab = -1$

上の2つの式から、$b = -2$となり、$a = 3$

すると、$ab = -6 \neq -1$ となるため、この形では表せない。

与式を$x$についての2次式と見て整理すると、

$2x^2 + (5y-1)x + (2y^2 + y - 1)$

$= 2x^2 + (5y-1)x + (2y-1)(y+1)$

$(Ax + By + C)(Dx + Ey + F)$の形で因数分解できると仮定する。

$(2x + y - 1)(x + 2y + 1)$

$= 2x^2 + 4xy + 2x + xy + 2y^2 + y - x - 2y - 1$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + x - y - 1$

符号が違うので、$(2x + y + 1)(x + 2y - 1)$を試すと

$= 2x^2 + 4xy - 2x + xy + 2y^2 - y + x + 2y - 1$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-2)(x+y-3)$

(2) $(x-y-2)(x-2y+3)$

(3) $(3x+y-2)(x+y+3)$

(4) $(2x+y+1)(x+2y-1)$