与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$ (2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$

(2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$ の因数分解

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (y-4)x - (y - 3)$

たすき掛けを試みます。$y-3$を $(y-3) \times 1$ と分解すると、

$(x + 1)(x+y-3)$を展開すると、$x^2 + xy -3x + x + y - 3 = x^2 + xy -2x + y - 3$　となり、$x$の係数が合いません。

$y-3$を $(-1) \times (3-y)$と考えると、

$(x-1)(x+y-3)=x^2 + xy -3x -x -y +3 = x^2 + xy -4x -y +3$　となり、与えられた式と一致します。

よって、因数分解の結果は $(x-1)(x+y-3)$となります。

(2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$ の因数分解

この式は$a$についても$x$についても2次式ですが、$x$について整理して考えてみます。

$x^2 + 3ax - (9a+9)$

$9a+9 = 9(a+1)$なので、これを考慮して定数項を分解することを考えます。

しかし、このままでは因数分解が難しいので、別の方法を考えます。

$x^2 + 3ax - 9a - 9 = (x^2 - 9) + (3ax - 9a)$ と変形します。

$(x^2 - 9) = (x+3)(x-3)$

$(3ax - 9a) = 3a(x-3)$

よって、$(x^2 - 9) + (3ax - 9a) = (x+3)(x-3) + 3a(x-3) = (x-3)(x+3+3a)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+y-3)$

(2) $(x-3)(x+3a+3)$