$z$ を複素数単位とするとき、方程式 $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおいて、極形式で解くことになります。

1. 問題の内容

$z$ を複素数単位とするとき、方程式 $z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおいて、極形式で解くことになります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた複素数 $-8 - 8\sqrt{3}i$ を極形式で表します。絶対値は

$\sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$

偏角 $\phi$ について、

$\cos\phi = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$\sin\phi = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\phi = \frac{4}{3}\pi$ （または $\phi = -\frac{2}{3}\pi$）となります。

したがって、$-8 - 8\sqrt{3}i = 16(\cos\frac{4}{3}\pi + i\sin\frac{4}{3}\pi)$ となります。

次に、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$z^2 = r^2(\cos2\theta + i\sin2\theta)$ となります。

与えられた方程式は、$z^2 = -8 - 8\sqrt{3}i$ なので、

$r^2(\cos2\theta + i\sin2\theta) = 16(\cos\frac{4}{3}\pi + i\sin\frac{4}{3}\pi)$

これより、$r^2 = 16$ かつ $2\theta = \frac{4}{3}\pi + 2n\pi$ (nは整数)

$r > 0$ より、$r = 4$

$\theta = \frac{2}{3}\pi + n\pi$

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{2}{3}\pi + \pi = \frac{5}{3}\pi$

したがって、$z = 4(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi) = 4(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2\sqrt{3}i$

$z = 4(\cos\frac{5}{3}\pi + i\sin\frac{5}{3}\pi) = 4(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - 2\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$z = -2 + 2\sqrt{3}i, 2 - 2\sqrt{3}i$