問題1: (1) 複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ を満たすとき、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}}$ の値を求める。 (2) 方程式 $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く。 問題2: (1) 2つの複素数 $\alpha, \beta$ が $|\alpha| = 3$, $|\beta| = 5$, $|\alpha - \beta| = 7$ を満たすとき、$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ の実部を求める。

1. 問題の内容

問題1:

(1) 複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ を満たすとき、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}}$ の値を求める。

(2) 方程式 $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く。

問題2:

(1) 2つの複素数 $\alpha, \beta$ が $|\alpha| = 3$, $|\beta| = 5$, $|\alpha - \beta| = 7$ を満たすとき、$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ の実部を求める。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ より、$z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$。

この2次方程式を解くと、

$z = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3-4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$。

$z = \cos(\frac{\pi}{6}) \pm i\sin(\frac{\pi}{6}) = e^{\pm i\frac{\pi}{6}}$.

よって、$z^{10} = e^{\pm i\frac{10\pi}{6}} = e^{\pm i\frac{5\pi}{3}} = \cos(\frac{5\pi}{3}) \pm i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) \mp i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \mp i\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\frac{1}{z^{10}} = e^{\mp i\frac{5\pi}{3}} = \cos(\frac{5\pi}{3}) \mp i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$。

したがって、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}} = (\frac{1}{2} \mp i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1$。

(2) $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i = 16(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 16(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$。

ド・モアブルの定理より、$z = \sqrt[4]{16}(\cos(\frac{\frac{4\pi}{3} + 2k\pi}{4}) + i\sin(\frac{\frac{4\pi}{3} + 2k\pi}{4}))$, ($k = 0, 1, 2, 3$)

$z = 2(\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}))$

$k=0: z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$

$k=1: z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

$k=2: z = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$

$k=3: z = 2(\cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6})) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$

問題2:

(1) $|\alpha - \beta|^2 = (\alpha - \beta)(\bar{\alpha} - \bar{\beta}) = |\alpha|^2 + |\beta|^2 - (\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta)$。

$|\alpha - \beta| = 7$ より、 $|\alpha - \beta|^2 = 49$。

$|\alpha|^2 = 9$, $|\beta|^2 = 25$。

$49 = 9 + 25 - (\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta)$

$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = 9 + 25 - 49 = -15$。

$|5\alpha + 6\beta|^2 = (5\alpha + 6\beta)(5\bar{\alpha} + 6\bar{\beta}) = 25|\alpha|^2 + 36|\beta|^2 + 30(\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta) = 25(9) + 36(25) + 30(-15) = 225 + 900 - 450 = 675$.

$|5\alpha + 6\beta| = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}$.

したがって、$|5\alpha + 6\beta| = 1$ は誤りであり、$|5\alpha + 6\beta| = 15\sqrt{3}$となる。

$\frac{\alpha}{\beta} = r e^{i\theta}$.

$\frac{\bar{\beta}}{\bar{\alpha}} = \frac{1}{\bar{\alpha}/\bar{\beta}}$.

$\frac{\alpha}{\beta}$の実部はよくわからない。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $z^{10} + \frac{1}{z^{10}} = 1$

(2) $z = 1 + i\sqrt{3}, -\sqrt{3} + i, -1 - i\sqrt{3}, \sqrt{3} - i$

問題2:

(1) $\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = -15$

$\frac{\alpha}{\beta}$の実部は不明