与えられた式 $2x^2 - 50y^2 + 2x - 10y$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 50y^2 + 2x - 10y$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式をグループ分けします。$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめます。

$2x^2 + 2x - 50y^2 - 10y$

次に、$x$ の項から $2$ を、 $y$ の項から $-10$ をそれぞれくくりだします。

$2(x^2 + x) - 10(5y^2 + y)$

さらに、それぞれの括弧の中から、$x$の項から $2$ を、$y$の項から$10$をくくり出します。

$2(x^2 + x) - 10y(5y + 1)$

最初の二つの項から$2$を、最後の二つの項から$-10$をそれぞれくくり出します。

$2x^2 + 2x - 50y^2 - 10y = 2(x^2 + x) - 10(5y^2 + y)$

ここで、$2$で全体をくくり出すことを考えます。

$2(x^2 + x - 25y^2 - 5y)$

次に、最初の２項と、後ろの２項をそれぞれまとめ、因数分解を考えます。

$2[(x^2 + x) - (25y^2 + 5y)]$

$= 2[x(x+1) - 5y(5y+1)]$

この形式では、うまく因数分解できそうにありません。

元の式に戻って、別の方法を試します。

$2x^2 - 50y^2 + 2x - 10y$

$2$で全体をくくりだします。

$2(x^2 - 25y^2 + x - 5y)$

$2[(x^2 - 25y^2) + (x - 5y)]$

ここで、$x^2 - 25y^2$ は $(x - 5y)(x + 5y)$ と因数分解できます。

$2[(x - 5y)(x + 5y) + (x - 5y)]$

$(x - 5y)$ でくくりだします。

$2(x - 5y)(x + 5y + 1)$

3. 最終的な答え

$2(x-5y)(x+5y+1)$