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与えられた4つの式を因数分解する問題です。 1. $a^2 + 2ab + b^2 - 16$ 2. $x^2 + 4x + 4 - 9y^2$ 3. $4x^2 - y^2 - 10y - 25$ 4. $36a^2 - 4b^2 + 16bc - 16c^2$

代数学因数分解多項式平方完成和と差の積
2025/4/18

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

1. $a^2 + 2ab + b^2 - 16$

2. $x^2 + 4x + 4 - 9y^2$

3. $4x^2 - y^2 - 10y - 25$

4. $36a^2 - 4b^2 + 16bc - 16c^2$

2. 解き方の手順

1. $a^2 + 2ab + b^2 - 16$

* a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 は (a+b)2(a+b)^2 と変形できる。
* 1616 は 424^2 と変形できる。
* よって、式全体は (a+b)2−42(a+b)^2 - 4^2 となる。
* これは、和と差の積の公式 x2−y2=(x+y)(x−y)x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) を利用できる。
* (a+b)2−42=(a+b+4)(a+b−4)(a+b)^2 - 4^2 = (a+b+4)(a+b-4)

2. $x^2 + 4x + 4 - 9y^2$

* x2+4x+4x^2 + 4x + 4 は (x+2)2(x+2)^2 と変形できる。
* 9y29y^2 は (3y)2(3y)^2 と変形できる。
* よって、式全体は (x+2)2−(3y)2(x+2)^2 - (3y)^2 となる。
* これは、和と差の積の公式 x2−y2=(x+y)(x−y)x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) を利用できる。
* (x+2)2−(3y)2=(x+2+3y)(x+2−3y)(x+2)^2 - (3y)^2 = (x+2+3y)(x+2-3y)

3. $4x^2 - y^2 - 10y - 25$

* −y2−10y−25-y^2 - 10y - 25 は -(y^2 + 10y + 25)と変形できる。
* y2+10y+25y^2 + 10y + 25 は (y+5)2(y+5)^2 と変形できる。
* 4x24x^2 は (2x)2(2x)^2 と変形できる。
* よって、式全体は (2x)2−(y+5)2(2x)^2 - (y+5)^2 となる。
* これは、和と差の積の公式 x2−y2=(x+y)(x−y)x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) を利用できる。
* (2x)2−(y+5)2=(2x+y+5)(2x−y−5)(2x)^2 - (y+5)^2 = (2x+y+5)(2x-y-5)

4. $36a^2 - 4b^2 + 16bc - 16c^2$

* 36a236a^2 は (6a)2(6a)^2 と変形できる。
* −4b2+16bc−16c2-4b^2 + 16bc - 16c^2 は −4(b2−4bc+4c2)-4(b^2 - 4bc + 4c^2) と変形できる。
* b2−4bc+4c2b^2 - 4bc + 4c^2 は (b−2c)2(b-2c)^2 と変形できる。
* 4(b−2c)24(b-2c)^2 は [2(b−2c)]2[2(b-2c)]^2 と変形できる。
* よって、式全体は (6a)2−[2(b−2c)]2(6a)^2 - [2(b-2c)]^2 となる。
* これは、和と差の積の公式 x2−y2=(x+y)(x−y)x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) を利用できる。
* (6a)2−[2(b−2c)]2=(6a+2b−4c)(6a−2b+4c)(6a)^2 - [2(b-2c)]^2 = (6a + 2b - 4c)(6a - 2b + 4c)
* さらに 22 でくくりだして (3a+b−2c)(3a−b+2c)∗4=4(3a+b−2c)(3a−b+2c)(3a + b - 2c)(3a - b + 2c) * 4 = 4(3a+b-2c)(3a-b+2c)とする。

3. 最終的な答え

1. $(a+b+4)(a+b-4)$

2. $(x+3y+2)(x-3y+2)$

3. $(2x+y+5)(2x-y-5)$

4. $4(3a+b-2c)(3a-b+2c)$

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