与えられた2つの式の計算を行います。 (1) $\frac{1}{x^2+x} + \frac{1}{x^2+3x+2}$ (2) $\frac{2x-3}{x^2-3x+2} - \frac{3x-2}{x^2-4}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式の計算を行います。

(1) $\frac{1}{x^2+x} + \frac{1}{x^2+3x+2}$

(2) $\frac{2x-3}{x^2-3x+2} - \frac{3x-2}{x^2-4}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x = x(x+1)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

それぞれの分数を共通の分母で表します。

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x}{x(x+1)(x+2)}$

分子をまとめます。

$\frac{x+2+x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x+2}{x(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)}$

$x+1$ で約分します。

$\frac{2}{x(x+2)} = \frac{2}{x^2+2x}$

(2)

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

それぞれの分数を共通の分母で表します。

$\frac{2x-3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x-2)(x+2)} - \frac{(3x-2)(x-1)}{(x-1)(x-2)(x+2)}$

分子を展開し、まとめます。

$\frac{(2x^2+4x-3x-6) - (3x^2-3x-2x+2)}{(x-1)(x-2)(x+2)} = \frac{2x^2+x-6 - (3x^2-5x+2)}{(x-1)(x-2)(x+2)}$

$\frac{2x^2+x-6 - 3x^2+5x-2}{(x-1)(x-2)(x+2)} = \frac{-x^2+6x-8}{(x-1)(x-2)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$\frac{-(x^2-6x+8)}{(x-1)(x-2)(x+2)} = \frac{-(x-2)(x-4)}{(x-1)(x-2)(x+2)}$

$x-2$ で約分します。

$\frac{-(x-4)}{(x-1)(x+2)} = \frac{-x+4}{(x-1)(x+2)} = \frac{-x+4}{x^2+x-2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{x^2+2x}$

(2) $\frac{-x+4}{x^2+x-2}$