次の式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{18}{\sqrt{6}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ (4) $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{18}{\sqrt{6}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

(4) $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が $\sqrt{6}$ なので、分子と分母に $\sqrt{6}$ をかけます。

$\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

(2) 分母が $2+\sqrt{3}$ なので、分子と分母に $2-\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}-3}{4-3} = 2\sqrt{3}-3$

(3) 分母が $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ なので、分子と分母に $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{5+2\sqrt{10}+2}{5-2} = \frac{7+2\sqrt{10}}{3}$

(4) 分母が $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ なので、分子と分母に $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{3\cdot 7 - 3\sqrt{21} - \sqrt{21} + 3}{7-3} = \frac{21 - 4\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{24 - 4\sqrt{21}}{4} = 6 - \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $2\sqrt{3}-3$

(3) $\frac{7+2\sqrt{10}}{3}$

(4) $6-\sqrt{21}$