$x^2-2y^2-xy+3yz+3zx$

## 数学の問題

次の３つの式を因数分解します。

(1) $x^2-2y^2-xy+3(yz+zx)$

(2) $(x^2-3x)(x^2-3x-2)-8$

(3) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15$

## 解き方の手順

### (1) $x^2-2y^2-xy+3(yz+zx)$ の因数分解

1. 式を展開します。

$x^2-2y^2-xy+3yz+3zx$

2. 次数の低い文字について整理します。ここでは$x$について整理してみます。

$x^2 + (-y+3z)x -2y^2+3yz$

3. 定数項 $-2y^2+3yz$ を因数分解します。残念ながら、うまくいきません。

4. 今度は $y$ について整理してみます。

$-2y^2+(-x+3z)y + (x^2 + 3zx)$

5. 同様に定数項を因数分解しようとしますが、うまくいきません。

6. 仕方がないので、与えられた式を何とか因数分解できるように工夫します。

$x^2-2y^2-xy+3yz+3zx = x^2 + (3z-y)x + (-2y^2 + 3yz)$

$x^2 + (3z-y)x + (-2y^2 + 3yz)$ の形を変形すると、

$(x+ay+bz)(x+cy+dz)$の形になるはずなので、

$x^2 + (a+c)yx + (b+d)zx + (ac)y^2 + (ad+bc)yz + (bd)z^2$

$ac=-2, bd=0, ad+bc=3$ となる a,b,c,d を探すことになります。

$bd=0$ より $b=0$または$d=0$。

$b=0$の時，$ad=3$。$ac=-2$より、適当な組み合わせを見つけるのは困難。

$d=0$の時，$bc=3$。$ac=-2$より、適当な組み合わせを見つけるのは困難。

7. 式をよく見ると、因数分解できそうな形ではありません。問題の写し間違いの可能性があります。

ここでは、一旦 $x^2-2y^2-xy+3(yz+zx)$ は因数分解できないものとして、次の問題に進みます。

### (2) $(x^2-3x)(x^2-3x-2)-8$ の因数分解

1. $x^2-3x = A$ とおきます。

すると、与式は $A(A-2)-8$ となります。

2. 式を展開します。

$A^2 - 2A - 8$

3. 因数分解します。

$(A-4)(A+2)$

4. $A$ を $x^2-3x$ に戻します。

$(x^2-3x-4)(x^2-3x+2)$

5. それぞれの括弧内を因数分解します。

$(x-4)(x+1)(x-1)(x-2)$

### (3) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15$ の因数分解

1. $(x+1)(x+7)$ と $(x+3)(x+5)$ をそれぞれ計算します。

$(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15$

2. $x^2+8x = A$ とおきます。

すると、与式は $(A+7)(A+15)+15$ となります。

3. 式を展開します。

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

4. 因数分解します。

$(A+10)(A+12)$

5. $A$ を $x^2+8x$ に戻します。

$(x^2+8x+10)(x^2+8x+12)$

6. それぞれの括弧内を因数分解します。

$(x^2+8x+10)(x+2)(x+6)$

$x^2+8x+10$ は因数分解できません。

## 最終的な答え

(1) 因数分解できません。

(2) $(x-4)(x+1)(x-1)(x-2)$

(3) $(x^2+8x+10)(x+2)(x+6)$