与えられた式 $b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc$ を因数分解する問題です。どの文字に着目すればよいか、またその理由も答える必要があります。

1. 問題の内容

与えられた式 $b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc$ を因数分解する問題です。どの文字に着目すればよいか、またその理由も答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc$

$c$ でくくると、

$b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc = (b^3 + ab^2 + 2ab + 2b^2 + a + b)c$

$= (b^3 + ab^2 + 2b^2 + 2ab + a + b)c$

$= (b^2(b+a) + 2b(b+a) + (a+b))c$

$= (b+a)(b^2 + 2b + 1)c$

$= (b+a)(b+1)^2 c$

したがって、式を $c$ でくくると、$(b+a)(b+1)^2c$ となり、これ以上因数分解できません。

しかし、元の式をよく見ると、$a$ でくくって整理するとうまく因数分解できます。

$b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc = ab^2c + 2abc + ca + b^3c + 2b^2c + bc$

$= a(b^2c + 2bc + c) + b^3c + 2b^2c + bc$

$= a(b^2 + 2b + 1)c + (b^3 + 2b^2 + b)c$

$= a(b+1)^2c + b(b^2 + 2b + 1)c$

$= a(b+1)^2 c + b(b+1)^2 c$

$= (a+b)(b+1)^2c$

$= (a+b)(b+1)(b+1)c$

$=(a+b)c(b+1)^2$

どの文字に着目すべきかですが、$a$ に着目すると、$a$の次数が1次なので、因数分解しやすくなります。

3. 最終的な答え

$(a+b)c(b+1)^2$

$a$ に着目すると、次数が1次なので、因数分解しやすくなります。