与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x+1$, $x+3$, $x+5$, $x+7$ の積の組み合わせを工夫して、$(x+1)(x+7)$ と $(x+3)(x+5)$ を計算します。

$$(x+1)(x+7) = x^2 + 8x + 7$$

$$(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15$$

ここで、$y = x^2 + 8x$ と置くと、与えられた式は

$$(y+7)(y+15) + 15$$

と書けます。展開すると

$$y^2 + 22y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120$$

となります。

この式を因数分解すると、

$$y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)$$

となります。

ここで、$y$ を $x^2 + 8x$ に戻すと、

$$(x^2+8x+10)(x^2+8x+12)$$

となります。さらに、$x^2+8x+12$ は $(x+2)(x+6)$ と因数分解できるので、

$$(x^2+8x+10)(x+2)(x+6)$$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+6)(x^2+8x+10)$