直線 $y = ax + 2$ （$a > 0$）とy軸の交点をAとする。直線②は2点B(0, 6), C(3, 0)を通る。 問1：直線②の式を求めなさい。 問2：直線①と直線②の交点をDとする。線分CD上に点Eをとり、点Eのx座標を$t$ ($0 < t < 3$)とする。 (1) $\triangle$OCEの面積が2cm$^2$であるとき、$t$の値を求めなさい。 (2) $\triangle$AEDの面積が4cm$^2$で、$\triangle$OCDの面積と四角形OEDAの面積が等しいとき、その値と$t$の値をそれぞれ求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $y = ax + 2$ （$a > 0$）とy軸の交点をAとする。直線②は2点B(0, 6), C(3, 0)を通る。

問1：直線②の式を求めなさい。

問2：直線①と直線②の交点をDとする。線分CD上に点Eをとり、点Eのx座標を$t$ ($0 < t < 3$)とする。

(1) $\triangle$OCEの面積が2cm$^2$であるとき、$t$の値を求めなさい。

(2) $\triangle$AEDの面積が4cm$^2$で、$\triangle$OCDの面積と四角形OEDAの面積が等しいとき、その値と$t$の値をそれぞれ求めなさい。

2. 解き方の手順

問1：

2点B(0, 6), C(3, 0)を通る直線の式を求める。

直線の式を$y = mx + n$とおくと、

B(0, 6)を通るので、$6 = m \cdot 0 + n$より、$n = 6$

C(3, 0)を通るので、$0 = m \cdot 3 + 6$より、$3m = -6$、$m = -2$

よって、直線②の式は、$y = -2x + 6$

問2：

(1) 点Eは直線CD上にあるので、E($t, -2t+6$)

$\triangle$OCEの面積は、底辺OCの長さを3、高さを$-2t+6$とすると、

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (-2t+6) = 2$

$-6t+18 = 4$

$-6t = -14$

$t = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

ただし、$0 < t < 3$を満たす必要がある。$t = \frac{7}{3} \approx 2.33$ なので条件を満たす。

(2)

まず、直線①と直線②の交点Dを求める。

$ax + 2 = -2x + 6$

$(a+2)x = 4$

$x = \frac{4}{a+2}$

$y = -2\left(\frac{4}{a+2}\right) + 6 = \frac{-8 + 6(a+2)}{a+2} = \frac{6a+4}{a+2}$

よって、D($\frac{4}{a+2}, \frac{6a+4}{a+2}$)

点Aは直線①とy軸の交点なので、A(0, 2)。

$\triangle$AEDの面積が4cm$^2$なので、

$\triangle$AEDの面積 = $\frac{1}{2} |(0(-2t+6-\frac{6a+4}{a+2}) + t(\frac{6a+4}{a+2}-2) + \frac{4}{a+2}(2-(-2t+6)))| = 4$

$\frac{1}{2}|t(\frac{6a+4-2a-4}{a+2}) + \frac{4}{a+2}(-4+2t)| = 4$

$|t(\frac{4a}{a+2}) + \frac{8t-16}{a+2}| = 8$

$|\frac{4at+8t-16}{a+2}| = 8$

$\frac{|4at+8t-16|}{|a+2|} = 8$

$|4at+8t-16| = 8(a+2)$

$|at+2t-4| = 2(a+2)$

$\triangle$OCDの面積と四角形OEDAの面積が等しいとき、四角形OEDAの面積は全体の面積の半分である。

$\triangle$OCDの面積は、底辺OC = 3、高さ（Dのy座標） $\frac{6a+4}{a+2}$なので、

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{6a+4}{a+2} = \frac{18a+12}{2(a+2)} = \frac{9a+6}{a+2}$

四角形OEDAの面積 = $\triangle$OCDの面積

$\frac{9a+6}{a+2} = \frac{1}{2} (\triangle$OBCの面積) = $\frac{1}{2} (\frac{1}{2}\times 3 \times 6) = \frac{9}{2}$

よって、

$\frac{9a+6}{a+2} = \frac{9}{2}$

$18a+12 = 9a+18$

$9a = 6$

$a = \frac{2}{3}$

$|at+2t-4| = 2(a+2)$

$|\frac{2}{3}t+2t-4| = 2(\frac{2}{3}+2)$

$|\frac{8}{3}t-4| = \frac{16}{3}$

$\frac{8}{3}t-4 = \pm \frac{16}{3}$

(i) $\frac{8}{3}t-4 = \frac{16}{3}$

$\frac{8}{3}t = \frac{28}{3}$

$t = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$ これは$0 < t < 3$を満たさない

(ii) $\frac{8}{3}t-4 = -\frac{16}{3}$

$\frac{8}{3}t = -\frac{4}{3}$

$t = -\frac{1}{2}$ これは$0 < t < 3$を満たさない

上記の計算に誤りがあるかもしれません。再度計算し、修正します。

D($\frac{4}{a+2}, \frac{6a+4}{a+2}$)

a = 2/3 のとき D($\frac{4}{2/3 + 2}, \frac{6(2/3) + 4}{2/3+2}$) = D($\frac{4}{8/3}, \frac{8}{8/3}$) = D(3/2, 3)

$\triangle OCD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$

$\triangle AED = 4$

四角形OEDA = $\triangle OCD = \frac{9}{2}$

全体面積 = 9

$\triangle OAD + \triangle ODE = \frac{9}{2}$

$\triangle OAD = \frac{1}{2}|0(2-3)+0(3-2)+3/2(2-2)| = 0$ ??? 計算があわない

$\triangle ADE = 4$

3. 最終的な答え

問1：$y = -2x + 6$

問2：

(1) $t = \frac{7}{3}$

(2) 計算中