与えられた3つの式について、2重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、2重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ について

$7+2\sqrt{10}$ を $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ の形に変形することを考えます。

$a^2+b^2=7$ かつ $ab=\sqrt{10}$ となる $a,b$ を探します。

$a=\sqrt{2}, b=\sqrt{5}$ とすると、$a^2+b^2=2+5=7$ および $ab=\sqrt{2}\sqrt{5}=\sqrt{10}$ となり条件を満たします。

よって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2} = \sqrt{2}+\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ について

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

$a^2+b^2=12$ かつ $ab=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ となる $a,b$ を探します。

$a=3, b=\sqrt{3}$ とすると、$a^2+b^2=9+3=12$ および $ab=3\sqrt{3}$ となり条件を満たします。

よって、

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ について

$\sqrt{3+\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$

$a^2+b^2=6$ かつ $ab=\sqrt{5}$ となる $a,b$ を探します。

$a=1, b=\sqrt{5}$ とすると、$a^2+b^2=1+5=6$ および $ab=\sqrt{5}$ となり条件を満たします。

よって、

$\sqrt{3+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{(1+\sqrt{5})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}+\sqrt{5}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$