次の定積分を計算します。 $\int_{-2}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx - \int_{3}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx$

解析学定積分積分計算多項式

2025/4/4

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

\int_{-2}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx - \int_{3}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx

2. 解き方の手順

まず、各積分を計算します。

\int (15x^2 - 8x + 5) \, dx = 15 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = 5x^3 - 4x^2 + 5x + C

次に、積分区間を適用して計算します。

\int_{-2}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx = [5x^3 - 4x^2 + 5x]_{-2}^{0} = (5(0)^3 - 4(0)^2 + 5(0)) - (5(-2)^3 - 4(-2)^2 + 5(-2)) = 0 - (5(-8) - 4(4) - 10) = 0 - (-40 - 16 - 10) = 0 - (-66) = 66

\int_{3}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx = [5x^3 - 4x^2 + 5x]_{3}^{0} = (5(0)^3 - 4(0)^2 + 5(0)) - (5(3)^3 - 4(3)^2 + 5(3)) = 0 - (5(27) - 4(9) + 15) = 0 - (135 - 36 + 15) = 0 - (114) = -114

最後に、元の式に代入して計算します。

\int_{-2}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx - \int_{3}^{0} (15x^2 - 8x + 5) \, dx = 66 - (-114) = 66 + 114 = 180

3. 最終的な答え

180

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