(1) $h > 0$、整数 $n \ge 3$ に対して、$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示す。 (2) $-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $h > 0$、整数 $n \ge 3$ に対して、$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示す。

(2) $-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$n \ge 3$ のとき、

$(1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} h^k$

$= 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2} h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3 + \dots + h^n$

$h > 0$ より、各項は正であるから、

$(1+h)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3$

よって、与えられた不等式が成り立つ。

(2)

$|r| < 1$ より、$\frac{1}{|r|} = 1 + h$ とおく。$h > 0$ である。

$n \ge 3$ のとき、(1)の結果より

$(1+h)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3$

したがって、

$\frac{1}{|r|^n} > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3$

$0 < |r^n| < \frac{6}{n(n-1)(n-2)h^3}$

$0 < n^2 |r^n| < \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3}$

ここで、

$\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n^2 - 3n + 2)h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6/n}{(1 - 3/n + 2/n^2)h^3} = \frac{0}{h^3} = 0$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} n^2 |r^n| = 0$

これは $\lim_{n \to \infty} |n^2 r^n| = 0$ を意味する。

したがって $\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つ。

(2) $\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つ。