与えられた定積分の和を計算する問題です。 $\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の和を計算する問題です。

$\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) dx$

2. 解き方の手順

定積分の性質を利用して、積分をまとめます。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx$

したがって、

$\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) dx = \int_{1}^{4} (3x^2 - 5x + 3x^2 + x) dx = \int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) dx$

積分を実行します。

$\int (6x^2 - 4x) dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) dx = [2x^3 - 2x^2]_{1}^{4} = (2(4^3) - 2(4^2)) - (2(1^3) - 2(1^2)) = (2(64) - 2(16)) - (2 - 2) = (128 - 32) - 0 = 96$

3. 最終的な答え

96