定積分 $\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $30x^2 - 20x$ の不定積分を求める。

$30x^2$ の不定積分は $30 \cdot \frac{x^3}{3} = 10x^3$ である。

$-20x$ の不定積分は $-20 \cdot \frac{x^2}{2} = -10x^2$ である。

したがって、$30x^2 - 20x$ の不定積分は $10x^3 - 10x^2$ である。

次に、定積分の定義に従い、不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算する。

積分区間の上限は $3$ なので、

$10(3)^3 - 10(3)^2 = 10(27) - 10(9) = 270 - 90 = 180$

積分区間の下限は $1$ なので、

$10(1)^3 - 10(1)^2 = 10(1) - 10(1) = 10 - 10 = 0$

したがって、

$\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx = (10(3)^3 - 10(3)^2) - (10(1)^3 - 10(1)^2) = 180 - 0 = 180$

3. 最終的な答え

180