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定積分 $\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx$ を計算する。

解析学定積分積分不定積分
2025/4/4

1. 問題の内容

定積分 ∫13(30x2−20x)dx\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 30x2−20x30x^2 - 20x の不定積分を求める。
30x230x^2 の不定積分は 30⋅x33=10x330 \cdot \frac{x^3}{3} = 10x^3 である。
−20x-20x の不定積分は −20⋅x22=−10x2-20 \cdot \frac{x^2}{2} = -10x^2 である。
したがって、30x2−20x30x^2 - 20x の不定積分は 10x3−10x210x^3 - 10x^2 である。
次に、定積分の定義に従い、不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算する。
積分区間の上限は 33 なので、
10(3)3−10(3)2=10(27)−10(9)=270−90=18010(3)^3 - 10(3)^2 = 10(27) - 10(9) = 270 - 90 = 180
積分区間の下限は 11 なので、
10(1)3−10(1)2=10(1)−10(1)=10−10=010(1)^3 - 10(1)^2 = 10(1) - 10(1) = 10 - 10 = 0
したがって、
∫13(30x2−20x)dx=(10(3)3−10(3)2)−(10(1)3−10(1)2)=180−0=180\int_{1}^{3} (30x^2 - 20x) dx = (10(3)^3 - 10(3)^2) - (10(1)^3 - 10(1)^2) = 180 - 0 = 180

3. 最終的な答え

180

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