与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題文にある4つの問題について、それぞれ接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

接線の方程式は、次の手順で求めます。

(1) 導関数 $y'$ を計算する。

(2) 指定された $x$ 座標の値を導関数に代入し、接線の傾き $m$ を求める。

(3) 指定された $x$ 座標の値を元の関数に代入し、$y$ 座標を求める。

(4) 接点の座標 $(x_0, y_0)$ と傾き $m$ を用いて、接線の方程式 $y - y_0 = m(x - x_0)$ を求める。

(1) $y = x^2 - x$, $x = 3$

$y' = 2x - 1$

$x = 3$ のとき $y' = 2(3) - 1 = 5$ (傾き)

$x = 3$ のとき $y = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$ (y座標)

接点は $(3, 6)$ で、傾きは $5$

接線の方程式は $y - 6 = 5(x - 3)$

$y = 5x - 15 + 6$

$y = 5x - 9$

(2) $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$

$y' = -\frac{1}{x^2}$

$x = 2$ のとき $y' = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ (傾き)

$x = 2$ のとき $y = \frac{1}{2}$ (y座標)

接点は $(2, \frac{1}{2})$ で、傾きは $-\frac{1}{4}$

接線の方程式は $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2} = 3x^{\frac{2}{3}}$, $x = 8$

$y' = 3 \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = 2x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

$x = 8$ のとき $y' = \frac{2}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{2} = 1$ (傾き)

$x = 8$ のとき $y = 3\sqrt[3]{8^2} = 3\sqrt[3]{64} = 3 \cdot 4 = 12$ (y座標)

接点は $(8, 12)$ で、傾きは $1$

接線の方程式は $y - 12 = 1(x - 8)$

$y = x - 8 + 12$

$y = x + 4$

(4) $y = e^{2x}$, $x = 0$

$y' = 2e^{2x}$

$x = 0$ のとき $y' = 2e^{2(0)} = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2$ (傾き)

$x = 0$ のとき $y = e^{2(0)} = e^0 = 1$ (y座標)

接点は $(0, 1)$ で、傾きは $2$

接線の方程式は $y - 1 = 2(x - 0)$

$y = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x - 9$

(2) $y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = x + 4$

(4) $y = 2x + 1$