与えられた関数について、グラフを描く問題です。具体的には以下の3つの関数についてグラフを描きます。 (1) $y = [x]$ (2) $y = x - [x]$ (3) $y = [\frac{x^2}{4}]$ (-4 ≤ x ≤ 4) ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表します。

1. 問題の内容

与えられた関数について、グラフを描く問題です。具体的には以下の3つの関数についてグラフを描きます。

(1) $y = [x]$

(2) $y = x - [x]$

(3) $y = [\frac{x^2}{4}]$ (-4 ≤ x ≤ 4)

ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表します。

2. 解き方の手順

(1) $y = [x]$ のグラフ

ガウス記号は、$n \le x < n+1$ (n は整数)のとき、$[x] = n$ となります。つまり、$x$ が整数の区間ごとに一定の値をとる階段状のグラフになります。

グラフは，$x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ で値が変化します。

(2) $y = x - [x]$ のグラフ

$x - [x]$ は $x$ の小数部分を表します。したがって、$0 \le x - [x] < 1$ となります。

この関数も、$x$ が整数の区間ごとに直線になります。$n \le x < n+1$ のとき、$y = x - n$ となり、傾き1の直線になります。

グラフは、$x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ で値が変化します。

(3) $y = [\frac{x^2}{4}]$ (-4 ≤ x ≤ 4)のグラフ

まず、$f(x) = \frac{x^2}{4}$ を考えます。これは下に凸の放物線です。

次に、この関数にガウス記号を適用します。

$x$ の範囲は $-4 \le x \le 4$ です。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$ なので、$y = [0] = 0$。

$x = \pm 1$ のとき、$f(\pm 1) = \frac{1}{4}$ なので、$y = [\frac{1}{4}] = 0$。

$x = \pm 2$ のとき、$f(\pm 2) = 1$ なので、$y = [1] = 1$。

$x = \pm 3$ のとき、$f(\pm 3) = \frac{9}{4} = 2.25$ なので、$y = [2.25] = 2$。

$x = \pm 4$ のとき、$f(\pm 4) = 4$ なので、$y = [4] = 4$。

したがって、$n \le \frac{x^2}{4} < n+1$ のとき、$y = n$ となります。

$4n \le x^2 < 4(n+1)$

$-\sqrt{4(n+1)} < x \le -\sqrt{4n}$ または $\sqrt{4n} \le x < \sqrt{4(n+1)}$

グラフは、以下の値で変化します。

$n=0$: $-\sqrt{4} < x \le 0$ or $0 \le x < \sqrt{4}$ -> $-2 < x \le 0$ or $0 \le x < 2$, $y=0$

$n=1$: $-\sqrt{8} < x \le -\sqrt{4}$ or $\sqrt{4} \le x < \sqrt{8}$ -> $-2\sqrt{2} < x \le -2$ or $2 \le x < 2\sqrt{2}$, $y=1$

$n=2$: $-\sqrt{12} < x \le -\sqrt{8}$ or $\sqrt{8} \le x < \sqrt{12}$ -> $-2\sqrt{3} < x \le -2\sqrt{2}$ or $2\sqrt{2} \le x < 2\sqrt{3}$, $y=2$

$n=3$: $-\sqrt{16} < x \le -\sqrt{12}$ or $\sqrt{12} \le x < \sqrt{16}$ -> $-4 < x \le -2\sqrt{3}$ or $2\sqrt{3} \le x < 4$, $y=3$

$n=4$: $x=\pm4$ ($y=4$)

3. 最終的な答え

グラフの形状は以下の通りです。

(1) $y = [x]$: 階段状のグラフ

(2) $y = x - [x]$: ノコギリ波のようなグラフ

(3) $y = [\frac{x^2}{4}]$ (-4 ≤ x ≤ 4): 放物線状で、段差のあるグラフ。