$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は、$\frac{0}{0}$の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つという定理です。

まず、$f(x) = e^{2x} - e^{-x}$ と $g(x) = x$ とおきます。

それぞれの微分を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (e^{2x} - e^{-x}) = 2e^{2x} + e^{-x}$

$g'(x) = \frac{d}{dx} (x) = 1$

よって、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^{-x}}{1}$

$x \to 0$ のとき、$2e^{2x} + e^{-x}$ は $2e^{0} + e^{0} = 2(1) + 1 = 3$ に収束します。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = 3$