サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ (ただし、$0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) の全長を求める。

## 問4.21 (1) サイクロイドの全長

1. 問題の内容

サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ (ただし、$0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) の全長を求める。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

で計算できる。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = a\sin t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = a^2(1 - \cos t)^2 + a^2\sin^2 t = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = a^2(2 - 2\cos t) = 2a^2(1 - \cos t)$

$1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$ より、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{4a^2\sin^2(\frac{t}{2})} = 2a|\sin(\frac{t}{2})|$

$0 \le t \le 2\pi$ のとき、$0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので、$\sin(\frac{t}{2}) \ge 0$. したがって、$|\sin(\frac{t}{2})| = \sin(\frac{t}{2})$

$L = \int_{0}^{2\pi} 2a\sin(\frac{t}{2}) dt = 2a[-2\cos(\frac{t}{2})]_{0}^{2\pi} = -4a[\cos(\pi) - \cos(0)] = -4a(-1 - 1) = 8a$

3. 最終的な答え

$8a$

## 問4.21 (2) アステロイドの全長

1. 問題の内容

アステロイド $x = a \cos^3 t$, $y = a \sin^3 t$ (ただし、$0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) の全長を求める。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

で計算できる。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t$

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{9a^2 \cos^2 t \sin^2 t} = 3a|\cos t \sin t|$

アステロイドは対称性を持つので、第一象限の長さを4倍すればよい。第一象限は、$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ なので、$\cos t \ge 0$, $\sin t \ge 0$. したがって、$|\cos t \sin t| = \cos t \sin t$

$\int_{0}^{\pi/2} 3a \cos t \sin t dt = 3a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(2t) dt = \frac{3a}{2}[-\frac{1}{2}\cos(2t)]_{0}^{\pi/2} = -\frac{3a}{4}[\cos(\pi) - \cos(0)] = -\frac{3a}{4}[-1 - 1] = \frac{3a}{2}$

$L = 4 \cdot \frac{3a}{2} = 6a$

3. 最終的な答え

$6a$

## 問4.22 (1) アルキメデスの螺旋

1. 問題の内容

アルキメデスの螺旋 $r = a\theta$ (ただし、$0 \le \theta \le 2\pi$, $a > 0$) の長さを求める。

2. 解き方の手順

極座標における曲線の長さは、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$

で計算できる。

$r = a\theta$より、$\frac{dr}{d\theta} = a$.

$\sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} = \sqrt{(a\theta)^2 + a^2} = \sqrt{a^2\theta^2 + a^2} = a\sqrt{\theta^2 + 1}$

$L = \int_{0}^{2\pi} a\sqrt{\theta^2 + 1} d\theta = a\int_{0}^{2\pi} \sqrt{\theta^2 + 1} d\theta$

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}x$

$L = a[\frac{1}{2}\theta\sqrt{\theta^2 + 1} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}\theta]_{0}^{2\pi} = a[\frac{1}{2}2\pi\sqrt{4\pi^2 + 1} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(2\pi) - 0]$

$= a[\pi\sqrt{4\pi^2 + 1} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(2\pi)]$

3. 最終的な答え

$a[\pi\sqrt{4\pi^2 + 1} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(2\pi)]$

## 問4.22 (2) 対数螺旋

1. 問題の内容

対数螺旋 $r = e^{a\theta}$ (ただし、$0 \le \theta \le 2\pi$, $a > 0$) の長さを求める。

2. 解き方の手順

極座標における曲線の長さは、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$

で計算できる。

$r = e^{a\theta}$より、$\frac{dr}{d\theta} = ae^{a\theta}$.

$\sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} = \sqrt{(e^{a\theta})^2 + (ae^{a\theta})^2} = \sqrt{e^{2a\theta} + a^2 e^{2a\theta}} = \sqrt{(1+a^2)e^{2a\theta}} = \sqrt{1+a^2}e^{a\theta}$

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+a^2}e^{a\theta} d\theta = \sqrt{1+a^2}\int_{0}^{2\pi} e^{a\theta} d\theta = \sqrt{1+a^2}[\frac{1}{a}e^{a\theta}]_{0}^{2\pi} = \frac{\sqrt{1+a^2}}{a}[e^{2\pi a} - e^0] = \frac{\sqrt{1+a^2}}{a}(e^{2\pi a} - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}(e^{2\pi a} - 1)$

## 問4.23 (1) カテナリー

1. 問題の内容

カテナリー $y = a\cosh(\frac{x}{a})$ (ただし、$-l \le x \le l$, $a > 0$) の $-l \le x \le l$ の部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の面積を求める。

2. 解き方の手順

回転体の表面積は、

$S = 2\pi \int_{-l}^{l} y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

で計算できる。

$y = a\cosh(\frac{x}{a})$より、$\frac{dy}{dx} = \sinh(\frac{x}{a})$.

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{1 + \sinh^2(\frac{x}{a})} = \sqrt{\cosh^2(\frac{x}{a})} = \cosh(\frac{x}{a})$

$S = 2\pi \int_{-l}^{l} a\cosh(\frac{x}{a}) \cosh(\frac{x}{a}) dx = 2\pi a\int_{-l}^{l} \cosh^2(\frac{x}{a}) dx$

$\cosh^2 x = \frac{1 + \cosh(2x)}{2}$より、

$S = 2\pi a \int_{-l}^{l} \frac{1 + \cosh(\frac{2x}{a})}{2} dx = \pi a \int_{-l}^{l} (1 + \cosh(\frac{2x}{a})) dx = \pi a [x + \frac{a}{2}\sinh(\frac{2x}{a})]_{-l}^{l}$

$S = \pi a [(l + \frac{a}{2}\sinh(\frac{2l}{a})) - (-l + \frac{a}{2}\sinh(\frac{-2l}{a}))] = \pi a [2l + \frac{a}{2}\sinh(\frac{2l}{a}) - \frac{a}{2}(-\sinh(\frac{2l}{a}))] = \pi a [2l + a\sinh(\frac{2l}{a})] = 2\pi a[l + \frac{a}{2}\sinh(\frac{2l}{a})]$

3. 最終的な答え

$2\pi a[l + \frac{a}{2}\sinh(\frac{2l}{a})]$