以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$

2. 解き方の手順

まず、$e^x$ および $e^{-x}$ のマクローリン展開を利用します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

したがって、

$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots) = 2x + \frac{2x^3}{3!} + \cdots$

$e^x - e^{-x} = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

$(e^x - e^{-x})^2 = (2x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^2 = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + O(x^6)$

よって、

$\frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \frac{4x^2 + \frac{4x^4}{3} + O(x^6)}{x^2} = 4 + \frac{4x^2}{3} + O(x^4)$

$x \to 0$ のとき、$\frac{4x^2}{3} + O(x^4) \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} (4 + \frac{4x^2}{3} + O(x^4)) = 4$

あるいは、ロピタルの定理を用いる方法もあります。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{x}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) + (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{1} = \lim_{x \to 0} (e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2 = (1+1)^2 + (1-1)^2 = 4$

3. 最終的な答え

4