次の極限値を区分求積法で求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{n} + \frac{n}{n^2 + 1^2} + \frac{n}{n^2 + 2^2} + \dots + \frac{n}{n^2 + (n-1)^2} \right\} $$

1. 問題の内容

次の極限値を区分求積法で求める問題です。

$$\lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{n} + \frac{n}{n^2 + 1^2} + \frac{n}{n^2 + 2^2} + \dots + \frac{n}{n^2 + (n-1)^2} \right\}$$

2. 解き方の手順

区分求積法を用いるために、与えられた数列の和を $\sum$ を用いて表します。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2 + k^2}$$

次に、分母分子を $n^2$ で割ります。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{k^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^2}$$

ここで、区分求積法の定義より、

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x) dx$$

なので、

$$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$$

とおくと、与えられた極限は以下の積分で表されます。

$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$$

この積分は $\arctan(x)$ の不定積分を用いることで計算できます。

$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \left[ \arctan(x) \right]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{\pi}{4}$$