与えられた2つの関数 $f(x)$ の不定積分を求めます。 (1) $f(x) = \frac{2x-3}{x^3 + x^2 -2}$ (2) $f(x) = e^{3x} \sin x$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x)$ の不定積分を求めます。

(1) $f(x) = \frac{2x-3}{x^3 + x^2 -2}$

(2) $f(x) = e^{3x} \sin x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{2x-3}{x^3 + x^2 -2}$ の不定積分を求める。

まず、分母を因数分解します。$x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2 + 2x + 2)$.

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{2x-3}{(x-1)(x^2 + 2x + 2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2 + 2x + 2}$

両辺に $(x-1)(x^2 + 2x + 2)$ をかけると、

$2x-3 = A(x^2 + 2x + 2) + (Bx+C)(x-1)$

$2x-3 = Ax^2 + 2Ax + 2A + Bx^2 -Bx + Cx - C$

$2x-3 = (A+B)x^2 + (2A-B+C)x + (2A-C)$

係数を比較して、

$A+B = 0$

$2A-B+C = 2$

$2A-C = -3$

これらの連立方程式を解くと、

$B = -A$

$2A+A+C = 2 \Rightarrow 3A+C = 2$

$2A-C = -3$

$5A = -1 \Rightarrow A = -\frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = 2 - 3A = 2 + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$

したがって、

$\frac{2x-3}{x^3 + x^2 -2} = -\frac{1}{5(x-1)} + \frac{x+13}{5(x^2 + 2x + 2)} = -\frac{1}{5(x-1)} + \frac{x+1}{5(x^2 + 2x + 2)} + \frac{12}{5(x^2 + 2x + 2)}$

$\int \frac{2x-3}{x^3 + x^2 -2} dx = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{5} \int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 2} dx + \frac{12}{5} \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx$

$= -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{10} \ln |x^2 + 2x + 2| + \frac{12}{5} \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx$

$= -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{10} \ln |x^2 + 2x + 2| + \frac{12}{5} \arctan(x+1) + C_1$

(2) $f(x) = e^{3x} \sin x$ の不定積分を求める。

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{3x} \sin x dx$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cos x dx$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{3x} \cos x - \int \frac{1}{3} e^{3x} (-\sin x) dx)$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} e^{3x} \cos x - \frac{1}{9} \int e^{3x} \sin x dx$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} e^{3x} \cos x - \frac{1}{9} I$

$I + \frac{1}{9} I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} e^{3x} \cos x$

$\frac{10}{9} I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} e^{3x} \cos x$

$I = \frac{9}{10} (\frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} e^{3x} \cos x) = \frac{3}{10} e^{3x} \sin x - \frac{1}{10} e^{3x} \cos x + C_2$

$I = \frac{e^{3x}}{10}(3\sin x - \cos x) + C_2$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{2x-3}{x^3 + x^2 -2} dx = -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{10} \ln |x^2 + 2x + 2| + \frac{12}{5} \arctan(x+1) + C_1$

(2) $\int e^{3x} \sin x dx = \frac{e^{3x}}{10}(3\sin x - \cos x) + C_2$