定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx$ を計算する問題です。

解析学定積分積分多項式関数

2025/4/4

1. 問題の内容

定積分

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数

3x^2 - 4x + 5

の不定積分を求めます。

\int (3x^2 - 4x + 5) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C

次に、定積分の定義に従い、上記の不定積分に積分区間の上限（3）と下限（1）を代入し、その差を計算します。

F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x

とおくと、

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx = F(3) - F(1)

F(3) = 3^3 - 2(3^2) + 5(3) = 27 - 18 + 15 = 24

F(1) = 1^3 - 2(1^2) + 5(1) = 1 - 2 + 5 = 4

したがって、

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx = 24 - 4 = 20

3. 最終的な答え

20

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