与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算しやすい形に変形します。

1. 1行目に2行目を足す、3行目を足す、4行目を足すと、1行目は $-a+a+a+b = a+b$, $a-a+b+a = a+b$, $a+b-a+a = a+b$, $b+a+a-a = a+b$ となり、1行目は $(a+b, a+b, a+b, a+b)$ になります。

$\begin{vmatrix} a+b & a+b & a+b & a+b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix}$

2. 1行目の $(a+b)$ をくくり出す。

$(a+b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix}$

3. 2列目から1列目を引く、3列目から1列目を引く、4列目から1列目を引く操作を行う。

$(a+b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & -2a & b-a & 0 \\ a & b-a & -2a & 0 \\ b & a-b & a-b & -a-b \end{vmatrix}$

4. 1行1列の余因子展開をすると、次のようになります。

$(a+b) \begin{vmatrix} -2a & b-a & 0 \\ b-a & -2a & 0 \\ a-b & a-b & -a-b \end{vmatrix}$

5. 3行目から$-(a+b)$をくくり出す。

$-(a+b)^2 \begin{vmatrix} -2a & b-a & 0 \\ b-a & -2a & 0 \\ a-b & a-b & 1 \end{vmatrix}$

6. 3列目の余因子展開をすると、次のようになります。

$-(a+b)^2 \begin{vmatrix} -2a & b-a \\ b-a & -2a \end{vmatrix}$

7. 行列式を計算する。

$-(a+b)^2 [(-2a)*(-2a) - (b-a)*(b-a)]$

$-(a+b)^2 [4a^2 - (b^2 - 2ab + a^2)]$

$-(a+b)^2 [3a^2 + 2ab - b^2]$

$-(a+b)^2 (3a-b)(a+b)$

$-(a+b)^3(3a-b)$

$(b+a)^3 (b-3a)$

3. 最終的な答え

$(b+a)^3 (b-3a)$