関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最大値を、次の3つの場合に分けて求める問題です。 (1) $a \le 0$ のとき (2) $0 \le a \le 2$ のとき (3) $a \ge 2$ のとき

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最大値を、次の3つの場合に分けて求める問題です。

(1) $a \le 0$ のとき

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

(3) $a \ge 2$ のとき

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = -x^2 + 2ax + 3 = -(x^2 - 2ax) + 3 = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 3 = -(x-a)^2 + a^2 + 3$

よって、関数 $f(x)$ の頂点の座標は $(a, a^2 + 3)$ となります。

(1) $a \le 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は減少関数となるため、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $f(0) = -0^2 + 2a(0) + 3 = 3$ となります。

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

頂点のx座標 $a$ が定義域 $0 \le x \le 2$ に含まれるため、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $f(a) = a^2 + 3$ となります。

(3) $a \ge 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は増加関数となるため、$x=2$ で最大値をとります。

最大値は $f(2) = -2^2 + 2a(2) + 3 = -4 + 4a + 3 = 4a - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a \le 0$ のとき、最大値は $3$

(2) $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $a^2 + 3$

(3) $a \ge 2$ のとき、最大値は $4a - 1$