(1) 縦5cm, 横2cmの長方形の紙が8枚ある。図のアとイのように並べたとき、色のついた部分の面積が大きいのはどちらで、何cm²大きいか答える。 (2) 図のように、正方形と半円を組み合わせ、弧CDの中点を点Mとする。色のついた部分の面積を、aを使った式で表す。（円周率は$\pi$とする。）

1. 問題の内容

(1) 縦5cm, 横2cmの長方形の紙が8枚ある。図のアとイのように並べたとき、色のついた部分の面積が大きいのはどちらで、何cm²大きいか答える。

(2) 図のように、正方形と半円を組み合わせ、弧CDの中点を点Mとする。色のついた部分の面積を、aを使った式で表す。（円周率は$\pi$とする。）

2. 解き方の手順

(1)

まず、長方形の紙の面積を計算する。

$5 \times 2 = 10$ cm²

図アの場合、色のついた部分の面積は、長方形8枚分の面積から、中央の空白部分の面積を引いたものになる。中央の空白部分は、縦2cm、横5cmの長方形が4枚分なので、$2 \times 5 \times 4 = 40$ cm²。したがって、色のついた部分の面積は、$10 \times 8 - 40 = 80 - 40 = 40$ cm²。

図イの場合、色のついた部分の面積は、長方形8枚分の面積から、中央の空白部分の面積を引いたものになる。中央の空白部分は、縦5cm、横2cmの長方形が4枚分なので、$5 \times 2 \times 4 = 40$ cm²。したがって、色のついた部分の面積は、$10 \times 8 - 40 = 80 - 40 = 40$ cm²。

どちらも同じ面積である。したがって、面積の差は0cm²。

(2)

正方形の一辺の長さは$a$なので、正方形の面積は$a^2$。

半円の半径は$a$なので、半円の面積は$\frac{1}{2} \pi a^2$。

三角形BCMは直角二等辺三角形で、BM=CM=$a$なので、面積は$\frac{1}{2} a^2$。

色のついた部分の面積は、半円の面積から三角形BCMの面積を引いたものなので、$\frac{1}{2} \pi a^2 - \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (\pi - 1) a^2$。

3. 最終的な答え

(1) どちらも同じ面積なので、0 cm² 大きい。

(2) $\frac{1}{2} (\pi - 1) a^2$ (m²)