100から300までの整数のうち、6の倍数全体の集合をA、15の倍数全体の集合をBとする。このとき、$n(A \cap B)$と$n(A \cup B)$を求めよ。

1. 問題の内容

100から300までの整数のうち、6の倍数全体の集合をA、15の倍数全体の集合をBとする。このとき、$n(A \cap B)$と$n(A \cup B)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A$の要素数$n(A)$を求める。100以上300以下の6の倍数の個数を求める。

最小の6の倍数は、$6 \times 17 = 102$であり、最大の6の倍数は$6 \times 50 = 300$である。したがって、$n(A) = 50 - 17 + 1 = 34$となる。

次に、$B$の要素数$n(B)$を求める。100以上300以下の15の倍数の個数を求める。

最小の15の倍数は、$15 \times 7 = 105$であり、最大の15の倍数は$15 \times 20 = 300$である。したがって、$n(B) = 20 - 7 + 1 = 14$となる。

次に、$A \cap B$の要素数$n(A \cap B)$を求める。$A \cap B$は6の倍数かつ15の倍数である数の集合なので、30の倍数の集合である。

最小の30の倍数は、$30 \times 4 = 120$であり、最大の30の倍数は$30 \times 10 = 300$である。したがって、$n(A \cap B) = 10 - 4 + 1 = 7$となる。

最後に、$A \cup B$の要素数$n(A \cup B)$を求める。これは、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

で計算できる。したがって、$n(A \cup B) = 34 + 14 - 7 = 41$となる。

3. 最終的な答え

$n(A \cap B) = 7$

$n(A \cup B) = 41$