$n$次正方行列$A = (\vec{a_1}, \dots, \vec{a_n}) = [a_{ij}]$と$B = (\vec{b_1}, \dots, \vec{b_n}) = [b_{ij}]$があるとき、積$AB$の第$j$列目を$A$を構成する列ベクトルと$B$の成分を用いて表せ。和は$\sum$を用いて表すこと。

1. 問題の内容

$n$次正方行列$A = (\vec{a_1}, \dots, \vec{a_n}) = [a_{ij}]$と$B = (\vec{b_1}, \dots, \vec{b_n}) = [b_{ij}]$があるとき、積$AB$の第$j$列目を$A$を構成する列ベクトルと$B$の成分を用いて表せ。和は$\sum$を用いて表すこと。

2. 解き方の手順

行列$AB$の第$j$列は、行列$A$と行列$B$の第$j$列$\vec{b_j}$との積に等しい。行列$B$の第$j$列$\vec{b_j}$は、その成分$b_{ij}$を用いて$\vec{b_j} = \begin{pmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{pmatrix}$と表せる。

行列$A$の列ベクトル$\vec{a_i}$と行列$B$の成分$b_{ij}$を用いて、$AB$の第$j$列は以下のように表せる。

$AB$の第$j$列 $= \sum_{i=1}^n b_{ij} \vec{a_i} = b_{1j} \vec{a_1} + b_{2j} \vec{a_2} + \dots + b_{nj} \vec{a_n}$

3. 最終的な答え

$AB$の第$j$列 $= \sum_{i=1}^n b_{ij} \vec{a_i}$