特殊直交行列 $T = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \in SO(3)$ によって表現される回転 $f_T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $f_T(\vec{x}) = T\vec{x}$ ($\vec{x} \in \mathbb{R}^3$) について、回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

特殊直交行列 $T = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \in SO(3)$ によって表現される回転 $f_T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $f_T(\vec{x}) = T\vec{x}$ ($\vec{x} \in \mathbb{R}^3$) について、回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ は、$T\vec{l} = \vec{l}$ を満たすベクトル、つまり、$T$ の固有値 $1$ に対応する固有ベクトルです。

$T\vec{l} = \vec{l}$ より、$(T - I)\vec{l} = \vec{0}$ となります。

$T - I = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -6 \\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -6 \\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解きます。

第1式より、$-x + 2y + 3z = 0$。第2式は第1式の-2倍なので同じ情報です。第3式は $-3x + 6y - 5z = 0$。

第1式を3倍して第3式から引くと、$-14z = 0$ より $z=0$。

$-x + 2y = 0$ より $x = 2y$。

よって、$\vec{l} = \begin{pmatrix} 2y \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ となります。

$\vec{l}$ は方向ベクトルなので、大きさを1に正規化します。

$\|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$

したがって、$\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ となります。

回転角 $\theta$ の余弦 $\cos\theta$ は、以下の公式を用いて求めます。

$Tr(T) = 1 + 2\cos\theta$

ここで、$Tr(T)$ は $T$ のトレース（対角成分の和）です。

$Tr(T) = \frac{1}{7}(6 + 3 + 2) = \frac{11}{7}$

$\frac{11}{7} = 1 + 2\cos\theta$

$2\cos\theta = \frac{11}{7} - 1 = \frac{4}{7}$

$\cos\theta = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

回転軸の方向ベクトル $\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

回転角の余弦 $\cos\theta = \frac{2}{7}$