以下の連立方程式の解 $x, y, z$ を求めます。ただし、$a$ は実数です。 $ \begin{cases} x - 2y + 3z = a \\ 2x + 3y + 5z = 2a - 1 \\ 3x + ay + 8z = 2a + 4 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立方程式の解 $x, y, z$ を求めます。ただし、$a$ は実数です。

$$

\begin{cases}

x - 2y + 3z = a \\

2x + 3y + 5z = 2a - 1 \\

3x + ay + 8z = 2a + 4

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、第1式と第2式から $x$ を消去します。

第1式を2倍すると $2x - 4y + 6z = 2a$ となります。

この式から第2式 $2x + 3y + 5z = 2a - 1$ を引くと、

$(2x - 4y + 6z) - (2x + 3y + 5z) = 2a - (2a - 1)$

$-7y + z = 1$

よって、

$z = 7y + 1$ …(4)

次に、第1式と第3式から $x$ を消去します。

第1式を3倍すると $3x - 6y + 9z = 3a$ となります。

この式から第3式 $3x + ay + 8z = 2a + 4$ を引くと、

$(3x - 6y + 9z) - (3x + ay + 8z) = 3a - (2a + 4)$

$(-6 - a)y + z = a - 4$ …(5)

式(4)を式(5)に代入すると、

$(-6 - a)y + (7y + 1) = a - 4$

$(-6 - a + 7)y = a - 4 - 1$

$(1 - a)y = a - 5$

(i) $a \neq 1$ のとき、

$y = \frac{a - 5}{1 - a} = \frac{-(5 - a)}{-(a - 1)} = \frac{5 - a}{a - 1}$

式(4)に代入すると、

$z = 7(\frac{5 - a}{a - 1}) + 1 = \frac{35 - 7a + a - 1}{a - 1} = \frac{34 - 6a}{a - 1}$

第1式に $y$ と $z$ の値を代入すると、

$x = a + 2y - 3z = a + 2(\frac{5 - a}{a - 1}) - 3(\frac{34 - 6a}{a - 1})$

$= \frac{a(a - 1) + 2(5 - a) - 3(34 - 6a)}{a - 1}$

$= \frac{a^2 - a + 10 - 2a - 102 + 18a}{a - 1}$

$= \frac{a^2 + 15a - 92}{a - 1}$

(ii) $a = 1$ のとき、

$(1 - a)y = a - 5$ より、$0 \cdot y = -4$ となるので、解なし。

3. 最終的な答え

$a \neq 1$ のとき、

$x = \frac{a^2 + 15a - 92}{a - 1}$

$y = \frac{5 - a}{a - 1}$

$z = \frac{34 - 6a}{a - 1}$

$a = 1$ のとき、解なし。