与えられた式 $\frac{5}{3}\sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ を計算して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{5}{3}\sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ を計算して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を簡単にします。

$\sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^2} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{-81} = \sqrt[3]{-27 \times 3} = \sqrt[3]{-27} \times \sqrt[3]{3} = -3\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{1}{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \times \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{5}{3}\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{3} - \frac{9}{3}\sqrt[3]{3} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{3} = (\frac{5}{3} - \frac{9}{3} + \frac{1}{3})\sqrt[3]{3} = \frac{5-9+1}{3}\sqrt[3]{3} = \frac{-3}{3}\sqrt[3]{3} = -\sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt[3]{3}$