(1) $a+b+c = 4$ および $ab+bc+ca = 1$ のとき、$a^2+b^2+c^2$ の値を求める。 (2) 1769 と 1403 の最大公約数を求める。 (3) 男子3人と女子3人が輪の形に並ぶとき、男女が交互に並ぶような並び方の総数を求める。 (4) 不等式 $|3x-3| < 2x+1$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $a+b+c = 4$ および $ab+bc+ca = 1$ のとき、$a^2+b^2+c^2$ の値を求める。

(2) 1769 と 1403 の最大公約数を求める。

(3) 男子3人と女子3人が輪の形に並ぶとき、男女が交互に並ぶような並び方の総数を求める。

(4) 不等式 $|3x-3| < 2x+1$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c = 4$ の両辺を2乗すると、

$$(a+b+c)^2 = 4^2$$

$$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 16$$

$ab+bc+ca = 1$ を代入すると、

$$a^2+b^2+c^2+2(1) = 16$$

$$a^2+b^2+c^2 = 16-2$$

$$a^2+b^2+c^2 = 14$$

(2) ユークリッドの互除法を用いて、1769と1403の最大公約数を求める。

$1769 = 1403 \times 1 + 366$

$1403 = 366 \times 3 + 305$

$366 = 305 \times 1 + 61$

$305 = 61 \times 5 + 0$

よって、最大公約数は61。

(3) まず男子3人を円形に並べる。この並び方は $(3-1)! = 2! = 2$ 通り。

次に、男子3人の間に女子3人を並べる。女子の並び方は $3! = 6$ 通り。

よって、男女が交互に並ぶような並び方の総数は $2 \times 6 = 12$ 通り。

(4) $|3x-3| < 2x+1$ を解く。

場合分けをする。

(i) $3x-3 \geq 0$, つまり $x \geq 1$ のとき、

$3x-3 < 2x+1$

$x < 4$

$1 \leq x < 4$

(ii) $3x-3 < 0$, つまり $x < 1$ のとき、

$-(3x-3) < 2x+1$

$-3x+3 < 2x+1$

$2 < 5x$

$x > \frac{2}{5}$

$\frac{2}{5} < x < 1$

したがって、解は $\frac{2}{5} < x < 4$。

3. 最終的な答え

(1) 14

(2) 61

(3) 12

(4) $\frac{2}{5} < x < 4$