与えられた行列 $A$ の階数を求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。 $ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & a \\ 2 & a^2 - a & a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数を求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & a \\ 2 & a^2 - a & a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行列を簡約化（行基本変形）したときに残る線形独立な行の数です。

まず、与えられた行列 $A$ を行基本変形によって簡約化します。

ステップ1：3行から1行の3倍を引く

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & a \\ 2 & a^2 - a & a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 2 & a^2 - a & a \\ 3 & 0 & a \end{pmatrix}$

ステップ2：2行から1行の2倍を引く ($R_2 \to R_2 - 2R_1$)。

ステップ3：3行から1行の3倍を引く ($R_3 \to R_3 - 3R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 2 & a^2 - a & a \\ 3 & 0 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{smallmatrix} R_2 \to R_2 - 2R_1 \\ R_3 \to R_3 - 3R_1 \end{smallmatrix}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & a^2 - a & -a \\ 0 & 0 & -2a \end{pmatrix}$

これで、階段行列の形になりました。

行列の階数は、ゼロでない行の数に等しくなります。

場合分けをします。

* $a = 0$ のとき、行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$となり、階数は1です。

* $a = 1$ のとき、行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$となり、階数は2です。

* $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$のとき、$a^2 - a \neq 0$かつ$-2a \neq 0$なので、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

* $a = 0$ のとき、階数は1

* $a = 1$ のとき、階数は2

* $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ のとき、階数は3

または、以下のように書くこともできます。

$$

\text{rank}(A) = \begin{cases}

1 & (a = 0) \\

2 & (a = 1) \\

3 & (a \neq 0, 1)

\end{cases}

$$