連立方程式 $\begin{cases} x - 3y = 3 \\ ax + 4y = -2b \end{cases}$ と $\begin{cases} 3x - 4y = -1 \\ 2ax + by = 10 \end{cases}$ の解が同じになるような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases} x - 3y = 3 \\ ax + 4y = -2b \end{cases}$

と

$\begin{cases} 3x - 4y = -1 \\ 2ax + by = 10 \end{cases}$

の解が同じになるような定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、 $x - 3y = 3$ と $3x - 4y = -1$ の連立方程式を解いて $x$ と $y$ の値を求める。

$x - 3y = 3$ より、$x = 3y + 3$。これを $3x - 4y = -1$ に代入する。

$3(3y + 3) - 4y = -1$

$9y + 9 - 4y = -1$

$5y = -10$

$y = -2$

$x = 3y + 3 = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3$

よって、$x = -3$、$y = -2$ が連立方程式の解となる。

次に、この解 $x = -3$, $y = -2$ を、$ax + 4y = -2b$ と $2ax + by = 10$ に代入する。

$a(-3) + 4(-2) = -2b$

$-3a - 8 = -2b$

$3a - 2b = -8$ ...(1)

$2a(-3) + b(-2) = 10$

$-6a - 2b = 10$

$6a + 2b = -10$ ...(2)

(1) + (2) より、$9a = -18$ よって $a = -2$

$3(-2) - 2b = -8$

$-6 - 2b = -8$

$-2b = -2$

$b = 1$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 1$