不等式 $\sqrt{x+5} \le -x+1$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+5} \le -x+1$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中が非負である条件から、$x+5 \ge 0$ より $x \ge -5$ である。

次に、$\sqrt{x+5} \le -x+1$ の両辺を2乗することを考えるが、両辺がともに非負であることが必要である。

$\sqrt{x+5}$ は常に非負なので、$-x+1 \ge 0$、すなわち $x \le 1$ でなければならない。

したがって、$-5 \le x \le 1$ の範囲で不等式を解く。

両辺を2乗すると、

$x+5 \le (-x+1)^2$

$x+5 \le x^2 -2x + 1$

$0 \le x^2 -3x - 4$

$x^2 -3x - 4 \ge 0$

$(x-4)(x+1) \ge 0$

したがって、$x \le -1$ または $x \ge 4$ である。

$-5 \le x \le 1$ の範囲でこれを満たすのは $-5 \le x \le -1$ である。

3. 最終的な答え

$-5 \le x \le -1$