複素数 $z = 7 + i$ と $w = 3 + 4i$ が与えられています。 (1) $\frac{z}{w}$ の絶対値を求めます。 (2) $(\frac{z}{w})^7$ の偏角 $\theta$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めます。

1. 問題の内容

複素数 $z = 7 + i$ と $w = 3 + 4i$ が与えられています。

(1) $\frac{z}{w}$ の絶対値を求めます。

(2) $(\frac{z}{w})^7$ の偏角 $\theta$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{z}{w}$ の絶対値を求めます。

複素数の絶対値の性質 $| \frac{z}{w} | = \frac{|z|}{|w|}$ を利用します。

$|z| = |7+i| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$|w| = |3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

よって、$|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|} = \frac{5\sqrt{2}}{5} = \sqrt{2}$

(2) $(\frac{z}{w})^7$ の偏角 $\theta$ を求めます。

$\frac{z}{w} = \frac{7+i}{3+4i} = \frac{(7+i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{21 - 28i + 3i - 4i^2}{9 - 16i^2} = \frac{21 - 25i + 4}{9 + 16} = \frac{25 - 25i}{25} = 1 - i$

$\frac{z}{w} = 1 - i$ より、 $\frac{z}{w}$ の偏角は $-\frac{\pi}{4}$ です。

$(\frac{z}{w})^7$ の偏角は $7 \times (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{7\pi}{4}$ です。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で表すために、$2\pi$ を足します。

$-\frac{7\pi}{4} + 2\pi = -\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) $\frac{\pi}{4}$