不等式 $\sqrt{2x+1} \leq \frac{1}{2}x + 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2x+1} \leq \frac{1}{2}x + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{2x+1}$ が実数であるためには、 $2x+1 \geq 0$ が必要です。

これから、$x \geq -\frac{1}{2}$ という条件が得られます。

次に、与えられた不等式の両辺を2乗します。ただし、$x$ の範囲によっては、両辺の正負が考慮する必要がありますが、

ここでは一旦2乗して解いて最後に確認します。

$(\sqrt{2x+1})^2 \leq (\frac{1}{2}x + 1)^2$

$2x+1 \leq \frac{1}{4}x^2 + x + 1$

$0 \leq \frac{1}{4}x^2 - x$

$0 \leq x^2 - 4x$

$0 \leq x(x - 4)$

したがって、$x \leq 0$ または $x \geq 4$ です。

ここで、$x \geq -\frac{1}{2}$ という条件を考慮すると、

$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ または $x \geq 4$ となります。

次に、$\frac{1}{2}x+1$ の符号について考えます。

$x \geq -\frac{1}{2}$ であれば、$\frac{1}{2}x+1 \geq \frac{3}{4} > 0$ となり、

$\frac{1}{2}x+1$ は常に正の値をとることが分かります。

最後に、得られた解の範囲を元の不等式に代入して確認します。

$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ のとき:

$x = 0$ を代入すると、$\sqrt{1} \leq 1$ となり成立します。

$x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$\sqrt{0} \leq \frac{3}{4}$ となり成立します。

$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ は解の候補となります。

$x \geq 4$ のとき:

$x = 4$ を代入すると、$\sqrt{9} \leq 3$ となり成立します。

$x = 5$ を代入すると、$\sqrt{11} \leq \frac{7}{2}$ となり、$\sqrt{11} \approx 3.31$ かつ $\frac{7}{2} = 3.5$ となり成立します。

$x \geq 4$ は解の候補となります。

よって、不等式の解は $-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ または $x \geq 4$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ または $x \geq 4$