$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ の式を使って、$3\tan^2 \theta - 2\tan \theta - 3 = 0$ の式を導出する方法を説明します。

1. 問題の内容

$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ の式を使って、$3\tan^2 \theta - 2\tan \theta - 3 = 0$ の式を導出する方法を説明します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan 2\theta$ の公式を書き出します。

$$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

次に、この式から $3\tan^2 \theta - 2\tan \theta - 3 = 0$ を導出することを考えます。

$\tan 2\theta = A$とおくと、$A = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$です。

この式を変形します。

$A(1 - \tan^2 \theta) = 2 \tan \theta$

$A - A\tan^2 \theta = 2\tan \theta$

$A\tan^2 \theta + 2\tan \theta - A = 0$

ここで、$A$を具体的に定めると、$3\tan^2 \theta - 2\tan \theta - 3 = 0$の形に近づけることができます。

しかし、問題文では$\tan 2\theta$を使って、$3\tan^2 \theta - 2\tan \theta - 3 = 0$を導くとなっているため、$A = \tan 2\theta$のまま進めます。

$A\tan^2 \theta + 2\tan \theta - A = 0$

この式を$3\tan^2 \theta - 2\tan \theta - 3 = 0$と関連付けることは難しいです。

問題文の指示がやや不明確なため、別の解釈を試みます。

$3\tan^2 \theta - 2\tan \theta - 3 = 0$ という二次方程式を解くという解釈で進めます。

$\tan \theta = x$ とおくと、$3x^2 - 2x - 3 = 0$となります。

解の公式を用いて、$x$を求めます。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$a = 3, b = -2, c = -3$ なので、

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 3 \times (-3)}}{2 \times 3}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{6}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{6}$$

$$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6}$$

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$$

したがって、$\tan \theta = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$

$\theta = \arctan (\frac{1 \pm \sqrt{10}}{3})$