行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ の固有値と、実数値の固有値に対する固有ベクトルを求めます。

## 問題 6.3 (1)

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ の固有値と、実数値の固有値に対する固有ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。ここで、$I$ は単位行列です。

(2) 各固有値 $\lambda$ について、$(A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たす固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求めます。

(1) 固有方程式:

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\begin{vmatrix} 4 - \lambda & -5 \\ 2 & -3 - \lambda \end{vmatrix} = (4 - \lambda)(-3 - \lambda) - (-5)(2) = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0

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したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = -1$ です。

(2) 固有ベクトル:

- $\lambda_1 = 2$ のとき:

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(A - 2I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

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このとき、$2x - 5y = 0$ より、$x = \frac{5}{2} y$ 。よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

- $\lambda_2 = -1$ のとき:

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(A + I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

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このとき、$5x - 5y = 0$ より、$x = y$ 。よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -1$

固有ベクトル: $\lambda_1 = 2$ に対して $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\lambda_2 = -1$ に対して $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$