与えられた3つの行列に対して、それぞれの固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。 (1) $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列に対して、それぞれの固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。

(1) $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

各行列に対して、固有値と固有ベクトルを求める。

固有値を求めるには、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。ここで、$A$は与えられた行列、$I$は単位行列、$\lambda$は固有値を表す。

次に、求めた固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ の場合：

特性方程式は

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & -5 \\ 2 & -3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(-3-\lambda) - (-5)(2) = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1$。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - 5y = 0$ より、$x = \frac{5}{2}y$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ （または定数倍）。

$\lambda_2 = -1$ のとき、$(A - (-1)I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$ より、$x = y$。固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （または定数倍）。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ の場合：

特性方程式は

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - (2)(2) = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -3$。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より、$x = 2y$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ （または定数倍）。

$\lambda_2 = -3$ のとき、$(A - (-3)I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + y = 0$ より、$y = -2x$。固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ （または定数倍）。

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$ の場合：

特性方程式は

$\begin{vmatrix} \cos{\theta}-\lambda & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}-\lambda \end{vmatrix} = (\cos{\theta}-\lambda)^2 - (-\sin{\theta})(\sin{\theta}) = \lambda^2 - 2\lambda\cos{\theta} + \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} = \lambda^2 - 2\lambda\cos{\theta} + 1 = 0$

固有値は $\lambda = \frac{2\cos{\theta} \pm \sqrt{4\cos^2{\theta} - 4}}{2} = \cos{\theta} \pm \sqrt{\cos^2{\theta} - 1} = \cos{\theta} \pm i\sin{\theta}$

固有値は $\lambda_1 = \cos{\theta} + i\sin{\theta}, \lambda_2 = \cos{\theta} - i\sin{\theta}$。

$\lambda_1$ も $\lambda_2$ も一般に複素数であるため、実数値の固有値は存在しない。

したがって、実数値の固有ベクトルは存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 固有値: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -1$.

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(2) 固有値: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -3$.

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

(3) 固有値: $\lambda_1 = \cos{\theta} + i\sin{\theta}, \lambda_2 = \cos{\theta} - i\sin{\theta}$.

実数値の固有ベクトルは存在しない.