関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$)と$g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$)が与えられたとき、合成関数$(f \circ f)(x)$と$(f \circ g)(x)$を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$)と$g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$)が与えられたとき、合成関数$(f \circ f)(x)$と$(f \circ g)(x)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(f \circ f)(x)$を求める。これは$f(f(x))$を計算することである。

$f(f(x)) = f(x^2+2) = (x^2+2)^2 + 2$

$(x^2+2)^2$を展開すると$x^4 + 4x^2 + 4$となるので、

$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$

(2) $(f \circ g)(x)$を求める。これは$f(g(x))$を計算することである。

$f(g(x)) = f(\sqrt{x-2}) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$

$(\sqrt{x-2})^2$は$x-2$となるので、

$f(g(x)) = x-2+2 = x$

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$

$(f \circ g)(x) = x$