連立方程式 $\begin{cases} 2x - 3y = -2 \\ 3x + y = 19 \end{cases}$ の解が、連立方程式 $\begin{cases} ax + 2by = 11 \\ bx - ay = 14 \end{cases}$ の解と一致するとき、$a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases} 2x - 3y = -2 \\ 3x + y = 19 \end{cases}$

の解が、連立方程式

$\begin{cases} ax + 2by = 11 \\ bx - ay = 14 \end{cases}$

の解と一致するとき、$a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、最初の連立方程式を解きます。

2番目の式を3倍すると、

$9x + 3y = 57$

1番目の式と足し合わせると、

$(2x - 3y) + (9x + 3y) = -2 + 57$

$11x = 55$

$x = 5$

これを2番目の式に代入すると、

$3(5) + y = 19$

$15 + y = 19$

$y = 4$

したがって、最初の連立方程式の解は $x=5, y=4$ です。

次に、$x=5, y=4$ を2番目の連立方程式に代入します。

$\begin{cases} 5a + 8b = 11 \\ 5b - 4a = 14 \end{cases}$

これを $a, b$ について解きます。

1番目の式を4倍すると、

$20a + 32b = 44$

2番目の式を5倍すると、

$25b - 20a = 70$

これらを足し合わせると、

$(20a + 32b) + (25b - 20a) = 44 + 70$

$57b = 114$

$b = 2$

これを1番目の式に代入すると、

$5a + 8(2) = 11$

$5a + 16 = 11$

$5a = -5$

$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 2$