連立方程式 $\begin{cases} ax + by = -4 \\ 5x + 6y = 3 \end{cases}$ の解が、連立方程式 $\begin{cases} 4x - 3y = 18 \\ bx + ay = 1 \end{cases}$ の解と一致するとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases} ax + by = -4 \\ 5x + 6y = 3 \end{cases}$

の解が、連立方程式

$\begin{cases} 4x - 3y = 18 \\ bx + ay = 1 \end{cases}$

の解と一致するとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式 $\begin{cases} 4x - 3y = 18 \\ 5x + 6y = 3 \end{cases}$ を解き、$x$ と $y$ の値を求めます。

1つ目の式を2倍すると $8x - 6y = 36$ となります。

2つ目の式と足し合わせると、$13x = 39$ となり、$x = 3$ が得られます。

これを1つ目の式に代入すると、$4(3) - 3y = 18$ より、$12 - 3y = 18$ となり、$3y = -6$、したがって $y = -2$ となります。

よって、$x = 3$、$y = -2$ は、2つの連立方程式の解です。

次に、この解を連立方程式 $\begin{cases} ax + by = -4 \\ bx + ay = 1 \end{cases}$ に代入します。

$\begin{cases} 3a - 2b = -4 \\ 3b - 2a = 1 \end{cases}$

1つ目の式を2倍し、2つ目の式を3倍すると、

$\begin{cases} 6a - 4b = -8 \\ 9b - 6a = 3 \end{cases}$

2つの式を足し合わせると、$5b = -5$ となり、$b = -1$ が得られます。

これを1つ目の式に代入すると、$3a - 2(-1) = -4$ より、$3a + 2 = -4$ となり、$3a = -6$、したがって $a = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -1$