与えられた多項式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (4y + 2)x + (3y^2 + 4y + 1)$

次に、定数項の $3y^2 + 4y + 1$ を因数分解します。

$3y^2 + 4y + 1 = (3y + 1)(y + 1)$

与式が $(x + a)(x + b)$ の形に因数分解できると仮定します。展開すると $x^2 + (a+b)x + ab$ となります。

$a + b = 4y + 2$

$ab = (3y + 1)(y + 1)$

ここで、$a = 3y + 1$ かつ $b = y + 1$ と仮定すると、

$a + b = (3y + 1) + (y + 1) = 4y + 2$

$ab = (3y + 1)(y + 1) = 3y^2 + 4y + 1$

したがって、$x^2 + (4y + 2)x + (3y^2 + 4y + 1) = (x + 3y + 1)(x + y + 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 3y + 1)(x + y + 1)$