直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ と直線 $y = ax + 6$ の交点をAとし、直線 $y = ax + 6$ 上に点Bをとる。点Aの座標は(2, 5)、点Bのx座標は8である。 (1) $a$の値を求めよ。 (2) 点Bのy座標を求めよ。 (3) 直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ とy軸との交点をC、直線OAと直線BCとの交点をDとする。 ① 点Dの座標を求めよ。 ② $\triangle ADB$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ と直線 $y = ax + 6$ の交点をAとし、直線 $y = ax + 6$ 上に点Bをとる。点Aの座標は(2, 5)、点Bのx座標は8である。

(1) $a$の値を求めよ。

(2) 点Bのy座標を求めよ。

(3) 直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ とy軸との交点をC、直線OAと直線BCとの交点をDとする。

① 点Dの座標を求めよ。

② $\triangle ADB$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A(2, 5)は直線 $y = ax + 6$ 上にあるので、これを代入して$a$の値を求める。

$5 = 2a + 6$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

(2) 点Bのx座標は8であり、点Bは直線 $y = -\frac{1}{2}x + 6$ 上にあるので、$x = 8$を代入してy座標を求める。

$y = -\frac{1}{2}(8) + 6 = -4 + 6 = 2$

よって、点Bの座標は(8, 2)。

(3) ① 直線 $y = \frac{3}{2}x + 2$ とy軸との交点Cは(0, 2)。

点A(2, 5)と原点O(0, 0)を通る直線OAの方程式は、$y = \frac{5}{2}x$。

点B(8, 2)と点C(0, 2)を通る直線BCの方程式は、$y = 2$。

直線OAと直線BCの交点Dの座標は、$\frac{5}{2}x = 2$より、$x = \frac{4}{5}$。

よって、点Dの座標は$(\frac{4}{5}, 2)$。

② 点A(2, 5)、点B(8, 2)、点D($\frac{4}{5}$, 2)

$\triangle ADB$の面積を求める。点Aから直線BDに垂線を下ろし、その交点をEとする。

直線BDはy=2なので、点Eの座標は(2, 2)。

線分DEの長さは$8 - \frac{4}{5} = \frac{36}{5}$。

点Aから直線BDへの距離は$|5 - 2| = 3$。

$\triangle ADB = \frac{1}{2} \times DB \times 3$。

$DB = 8 - \frac{4}{5} = \frac{36}{5}$。

$\triangle ADB = \frac{1}{2} \times (8 - \frac{4}{5}) \times (5-2) = \frac{1}{2} \times \frac{36}{5} \times 3 = \frac{108}{10} = \frac{54}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{2}$

(2) 点Bのy座標: 2

(3) ① 点Dの座標: $(\frac{4}{5}, 2)$

② $\triangle ADB$の面積: $\frac{54}{5}$