数列 $24, a, b, \dots$ は等差数列であり、数列 $a, b, 8, \dots$ は等比数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $24, a, b, \dots$ は等差数列であり、数列 $a, b, 8, \dots$ は等比数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の性質から、$a$ と $b$ の関係式を導きます。等差数列では、隣り合う項の差が一定なので、

$a - 24 = b - a$

整理すると、

$2a = b + 24$

$b = 2a - 24$ (1)

次に、等比数列の性質から、$a$, $b$, $8$ の関係式を導きます。等比数列では、隣り合う項の比が一定なので、

$\frac{b}{a} = \frac{8}{b}$

整理すると、

$b^2 = 8a$ (2)

(1)を(2)に代入して、$a$ の方程式を立てます。

$(2a - 24)^2 = 8a$

$4a^2 - 96a + 576 = 8a$

$4a^2 - 104a + 576 = 0$

$a^2 - 26a + 144 = 0$

$(a - 8)(a - 18) = 0$

よって、$a = 8$ または $a = 18$

(i) $a = 8$ のとき、(1)より

$b = 2(8) - 24 = 16 - 24 = -8$

(ii) $a = 18$ のとき、(1)より

$b = 2(18) - 24 = 36 - 24 = 12$

したがって、$(a, b) = (8, -8)$ または $(a, b) = (18, 12)$ となります。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (8, -8), (18, 12)$