与えられた数式について、展開、因数分解、二項定理を利用した展開、特定の項の係数を求める問題です。

わかりました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた数式について、展開、因数分解、二項定理を利用した展開、特定の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) (3x + y)^3 を展開します。

二項定理または展開公式 $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を使用します。

$a = 3x$, $b = y$ を代入すると、

$(3x + y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$

(2) (4x - 3y)^3 を展開します。

二項定理または展開公式 $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を使用します。

$a = 4x$, $b = 3y$ を代入すると、

$(4x - 3y)^3 = (4x)^3 - 3(4x)^2(3y) + 3(4x)(3y)^2 - (3y)^3 = 64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3$

(3) (4a + 2)(16a^2 - 8a + 4) を展開します。

これは和と差の積の公式 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ に似ています。

$A = 4a$, $B = 2$ とすると、

$(4a + 2)((4a)^2 - (4a)(2) + 2^2) = (4a)^3 + 2^3 = 64a^3 + 8$

(4) (3a - 5b)(9a^2 + 15ab + 25b^2) を展開します。

これは差と積の公式 $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ に似ています。

$A = 3a$, $B = 5b$ とすると、

$(3a - 5b)((3a)^2 + (3a)(5b) + (5b)^2) = (3a)^3 - (5b)^3 = 27a^3 - 125b^3$

(5) 64x^3 + y^3 を因数分解します。

和の3乗の公式 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ を使用します。

$A = 4x$, $B = y$ とすると、

$64x^3 + y^3 = (4x + y)((4x)^2 - (4x)y + y^2) = (4x + y)(16x^2 - 4xy + y^2)$

(6) 27ax^3 - 8ay^3 を因数分解します。

まず a でくくり出すと、$a(27x^3 - 8y^3)$ となります。

次に、差の3乗の公式 $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ を使用します。

$A = 3x$, $B = 2y$ とすると、

$27x^3 - 8y^3 = (3x - 2y)((3x)^2 + (3x)(2y) + (2y)^2) = (3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)$

したがって、$27ax^3 - 8ay^3 = a(3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)$

(7) (2x + 3y)^5 を二項定理を用いて展開します。

二項定理より、

$(2x + 3y)^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (3y)^k$

$= \binom{5}{0} (2x)^5 (3y)^0 + \binom{5}{1} (2x)^4 (3y)^1 + \binom{5}{2} (2x)^3 (3y)^2 + \binom{5}{3} (2x)^2 (3y)^3 + \binom{5}{4} (2x)^1 (3y)^4 + \binom{5}{5} (2x)^0 (3y)^5$

$= 1 \cdot 32x^5 \cdot 1 + 5 \cdot 16x^4 \cdot 3y + 10 \cdot 8x^3 \cdot 9y^2 + 10 \cdot 4x^2 \cdot 27y^3 + 5 \cdot 2x \cdot 81y^4 + 1 \cdot 1 \cdot 243y^5$

$= 32x^5 + 240x^4y + 720x^3y^2 + 1080x^2y^3 + 810xy^4 + 243y^5$

(8) (x - 2y)^6 を二項定理を用いて展開します。

二項定理より、

$(x - 2y)^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (x)^{6-k} (-2y)^k$

$= \binom{6}{0} x^6 (-2y)^0 + \binom{6}{1} x^5 (-2y)^1 + \binom{6}{2} x^4 (-2y)^2 + \binom{6}{3} x^3 (-2y)^3 + \binom{6}{4} x^2 (-2y)^4 + \binom{6}{5} x^1 (-2y)^5 + \binom{6}{6} x^0 (-2y)^6$

$= 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-2y) + 15 \cdot x^4 \cdot 4y^2 + 20 \cdot x^3 \cdot (-8y^3) + 15 \cdot x^2 \cdot 16y^4 + 6 \cdot x \cdot (-32y^5) + 1 \cdot 1 \cdot 64y^6$

$= x^6 - 12x^5y + 60x^4y^2 - 160x^3y^3 + 240x^2y^4 - 192xy^5 + 64y^6$

(9) (3x + 4y)^5 の展開式における x^4y の項の係数を求めます。

二項定理より、x^4y の項は $\binom{5}{1}(3x)^4(4y)^1 = 5 \cdot 81x^4 \cdot 4y = 1620x^4y$

したがって、係数は 1620 です。

(10) (4x - y)^6 の展開式における xy^5 の項の係数を求めます。

二項定理より、xy^5 の項は $\binom{6}{5}(4x)^1(-y)^5 = 6 \cdot 4x \cdot (-y^5) = -24xy^5$

したがって、係数は -24 です。

3. 最終的な答え

(1) $(3x + y)^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$

(2) $(4x - 3y)^3 = 64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3$

(3) $(4a + 2)(16a^2 - 8a + 4) = 64a^3 + 8$

(4) $(3a - 5b)(9a^2 + 15ab + 25b^2) = 27a^3 - 125b^3$

(5) $64x^3 + y^3 = (4x + y)(16x^2 - 4xy + y^2)$

(6) $27ax^3 - 8ay^3 = a(3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)$

(7) $(2x + 3y)^5 = 32x^5 + 240x^4y + 720x^3y^2 + 1080x^2y^3 + 810xy^4 + 243y^5$

(8) $(x - 2y)^6 = x^6 - 12x^5y + 60x^4y^2 - 160x^3y^3 + 240x^2y^4 - 192xy^5 + 64y^6$

(9) (3x + 4y)^5 の展開式における x^4y の項の係数: 1620

(10) (4x - y)^6 の展開式における xy^5 の項の係数: -24